晴天霹雳
90年寒冬，德意志第二帝国，数理大宫殿内。
闪烁着的小瓦数灯泡在桌角处飘忽，数理大帝一世：大卫·希尔伯特身披着纯白色的天鹅绒披风，正坐在大殿正中。如果你用米尺去丈量椅子的四边中点到大殿四边的距离的话，你就会发现对边距离是完全相等的。作为数学帝国的始皇帝，也作为一名超一流的数学家和逻辑学家，他对一个立体空间的正中央有着旁人难以理解的偏执。
不偏执的人，就没有参与设计和搭建完美数学大厦的资格。希尔伯特一世总是这样和人说道，他从未将怀疑的眼光投向过他的数学信仰。
数理大宫殿
在那宽大到可以并排躺下四个人的桌上，寥寥无几地放着一把折叠尺，两只钢笔，一小打草稿纸，一盏电灯，几根捆在一起的蜡烛，还有整整二十三颗大小不一的黑色正方体木块，小如指头一般，大到头颅大小，从到从左到右标号整齐码放在他的面前，高低变幻像是一首具象化了的史诗音阶。
这二十三颗木块代表了他在年为新世纪提出的个最重要最困难的数学问题，每一个问题都需要最天才的人在最为灵光闪现的时间用至少数年光景才能解开缠绕，而每一个问题的未解决状态都让他如鲠在喉。他的智力为他带来了想要解决这些问题的强烈愿望，也为他带来了拥有足够的耐心。他除了喜好巴赫的音乐，年轻的艾舍尔的画作以外，就唯独喜欢独自一人在这二十三个问题面前思考。已然年近六十的他认为自己在这个世界上的使命还远远没有完成。
他扶正了唯一一颗被摆歪了的木块，然后从右向左一个一个扫视过去，每个木块无论大小目光都停留一样的时间，绝不有任何偏向，然而到了最大的那个木块的时候，他的目光却停了下来。那是从左数第二个。在一个大大的白色的「」的背面，写着那个问题的简要内容：
证明算术公理系统的无矛盾性。
他摩挲着这块和他头颅近乎同等大小的正方体，目光渐渐变得温柔，连眼角的皱纹都化了开。作为一名数学家，他深知这个证明的重要意义，只要证明了算术公理系统的无矛盾性，迈出这关键的第一步，那么就可以慢慢扩展开所能包容的领域，最后证明我们的世界本身规律的无矛盾性，并可能预言这个世界囊括一切的大一统理论的存在。
毕竟，世界的本质就是数学。
真是完美无缺。
他拒绝将任何未被逻辑严谨证明的任何臆想出来的观点当做真理，哪怕是他自己所深信不疑的也一样，所以他期待着有人来给出那关键的证明，这将是为数学大厦铺地基的一块极其有力的方砖。如果没有它？噢，希尔伯特想，我们还是不要做出如此可怕而又没有根据的假设了吧。最近在物理学中就出现了些稀奇古怪让人难以理解的玩意儿，让那些头疼的事情只去折磨可怜的理论物理学家们吧。
就在他提起笔想要在木块空白处加注释的时候，大门打开了，他的学徒走了进来，平日里温文尔雅的小伙子，这次目光却躲躲闪闪的。希尔伯特很不满地丢下了笔。
「希……希尔伯特陛下，很抱歉在您冥想的时刻打扰您，但是确实有一件事情需要您立刻知晓。我们刚刚收到了一封来自于哥德尔的一封信件……」
「哥什么？」希尔伯特不耐烦地打岔。
「是哥德尔，大人。库尔特·哥德尔。」
「完全没听说过。这次又是什么人？又是哪个妄想成名前来投机取巧的小商人？还是上次那种自以为可以用东方的模糊观点驳倒严谨的科学理论的痴人？」哥德尔的手指敲打着木块，像是在钢琴上演奏一首单调乏味的单音乐曲。
「都不是，我的陛下。这次……这次这个人，是因为您的个数学问题而来信的。」
希尔伯特立刻坐直了身子。
「嗯？有趣，是带来了解决问题了新思路新观点了吗？我已经等了很久这类来信了。那些别人想到而我却疏漏掉的观点总是像饭后甜蜜的点心一样让我激动，快来快来，把那封信拿来，我已经能感觉到思维的火花像跳跃的小鹿一样互相碰撞了。噢，该死，这根笔又没水了，不过还好，我还有一根……」希尔伯特拿起了另外一支笔，铺开了草稿纸，摆开了架势。只有在这个时候，才能看到不苟言笑的他的眼中闪现出跃跃欲试的年轻光芒。
「呃……很抱歉，陛下，不过这次的来信有些……有些……有些不一样。」
「嗯？不一样？」希尔伯特大帝诧异地抬起了头。「那……难道在那个问题中有哪个问题被这个好运的哥德尔单独解决掉了？」
「也不是的……陛下。我已经读过了那封信，哥德尔……他……他证明了您在第二问题中的设想……是……是……是错的。」
「咔」的一声，钢笔断裂的清脆声音在空旷的大殿中回响。这回响和它在各个领域的变奏穿透了整整一百年的岁月，使哥德尔当之无愧地成为0世纪最伟大的数理逻辑学家，得以与数学界无冕之王希尔伯特相提并论。
集异璧——不想当画家的音乐家不是好数理逻辑学家。
「哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成」这本书的写作目的是介绍人智能的来源，还有人工智能的发展和限制，而这其中最核心的概念就是著名的哥德尔第一不完备性定理。三块大放异彩的宝璧之中，哥德尔处在最重要的主干位置。在进行循序渐进的讲解之前，我们先把这个定理丢出来，让大家知道我们在朝什么方向去走：
哥德尔第一不完备性定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
嗯，这句话里好像所有字都在小学就认识过了，但是放在一起就是不明白是啥意思。没关系，我会一个一个搭砌出需要初步理解哥德尔定理的知识，各位看官且竖起耳朵待我慢慢讲来。
一、同构和层次同构理解本书需要的最基础的一个单元，就是同构。同构的含义是保留信息的变换，也就是说，两个结构可以相互映射，并且每个结构的每个部分都在另一个结构中有且只有一个相应的部分。说得再明白一些，就是广义的「翻译」。
一段中文的话翻译成其他语言，翻译前后的内容是同构的，因为可以再翻译回中文，代表着前后内涵和功能的一致。比如「不要」和「雅蠛蝶」，（╯‵□′）╯︵┴─┴和生气中的老婆。
同构之雅蠛蝶
我们的声带和声波的震动之间是同构的，因为信息并没有在这个过程中流失，而只是变成了另外一种一一对应可以恢复的形式。同样，声波的震荡和听众的鼓膜震动也同样是同构的，而鼓膜震动和大脑处理解析声音以后得到的观感感受，也就是听众听到的「声音」，也是同构的。
我们可以理解为，信息在通过声音传递的过程中，被「声带震动」这一过程加密成为了另外一种格式，得以在空气中传播出去，在接收端这一格式被「鼓膜震动」还原成了能被大脑处理理解的原信息。在大脑和大脑之间，通过一系列的同构，信息得到了传递。
再广而言之，一个现实世界中的苹果，和我们语言中的「苹果」二字，在我们而言也是同构的，我们可以使用「苹果」二字来代替苹果而不引发任何的歧义，并且任何人也都可以明白「苹果」的所指。当然这仅限于拥有同等理解力和相同语言能力的人脑之间。
我们再来看看什么不是同构的，除了很明显的那些之外（桌子和猫显然不同构，程序员和男朋友显然不同构，建筑师和度假显然不同构），当原来的信息没有被完整保留的时候，很明显就不再是同构的了。从一个角度来看，一个被带刺钢鞭抽过一百下的屁股，很明显不再保留原来屁股的任何信息（当然屁股的主人可能也不再是同构的了，毕竟尸体和人绝对不同构……）。
同构之蛋碎一地
计算机科学中，加密解密是保留了原有信息的，我们经常做的文件压缩和解压缩过程，前后的数据也是同构的。但是HashFunctions（一种单向的信息处理方式，不可逆），却是完全不保留原有信息的（事实上是需要故意让人不可能看不出原来信息），所以不是同构的。
解释「不不，亲爱的，你一定要听我解释。」一位衣冠不整的男子站在门前拦住了正要夺门而出的一位女士，女士冷眼抱胸。
「很好，我给你机会解释。解释不清楚的话，我们之间就完了。」女士一挑下巴，声音冷得像是万古寒冰。
「是这样的。你先坐下来听我说。」男子手忙脚乱地把女士重新领回门里坐下。「你以为的其实不是真实发生的，你不要以为你以为的就是你以为的……」
女子站了起来。
「好，好，亲爱的，先坐下。我就简单地说吧，你在我们的床上发现了两条女士内裤，而其中的一条不是你的……」
女子毫无先兆地挥出一巴掌，被男子一手抓住。
「不要生气，让我说完，其实床上其实没有两条内裤。」
「什么？」
「你认为床上有两条内裤，是基于床上有一条内裤，又有一条内裤的事实，但是这并不代表者床上有两条内裤。」
「你到底想说些什么？有话快说，再有一句废话从你嘴里出来，我立刻就走。」
「你认为+=。这不一定是对的。因为在我们的房间里，+等于。」
「什么？呵，那你倒是说说，+什么情况下等于？」
「当然是在我们相爱的时候。」男子用自己强有力的臂膀抱住了女子，不给她说话的机会。「我们两个人，组成了一个家庭，我的和你的完美地融合成了个。在我们的房间里，数学大厦也要为我们的爱情倾覆，又何况是一条我给你新买的内裤？」男子说完最后一个字，轻轻咬了女子的左耳。
女子挣扎片刻，大骂几句，然后痛哭出声。
翻译之+=
我们刚才说，两个结构之间转换的信息保留，所以说它们同构，其实是不很确切的，或者说是不很清晰的，一个真实的西瓜和纸上的「西瓜」两个字之间并不存在直接的同构。一个是以水分为主的近似球形，一个是以纤维素为主的纸张上的扁平图案，二者本来没有什么关系。存在直接对应关系的，是真实的西瓜和「西瓜」这两个字的解释，即在现实存在的真理和经过解释的符号（书中称为系统定理）之间。
+到底等于几，或者等于什么，是要看如何去解释+的含义。如果按照是纯粹数学的解释的话，那么代表单个个体，+代表将连个以上的数合成一个数，+=则映射着现实世界中的一件东西加上另一件东西是两个东西，这可以通过最简单最直观的实验直接验证。
那位男士通过对+提供另外一种解释（实验危险切勿模仿，老婆殴打后果自负），从而将其从纯粹数学的角度看待问题，换到了另外一个人们不经常想到的角度，仍然能够自圆其说地映射到某一部分现实之中。+也可以解释成把两个「粘」在一起，也就变成了。+=5有可能也是正确的，只要我们把=理解成为我们平时使用的小于等于号。+6可能也不等于7，而等于下面这位驴脸人的手势：
解释之非常六加一
通过同构和对同构固定的解释，我们就可以创造出一个能够与现实世界的很具体的一部分产生映射的同构，并且通过使用这些发明出来的符号之间的推导，来推断现实世界未知的一些因素。基础算术就是一个很好的相对简单的例子，而在书中使用的更复杂的真正实现，是一种叫做TNT的数论系统。这个系统可以根据它本身的规则去有效地从已知公理和推导规则，去推理出系统内新的定理来。
TNT不是炸药，也不是麻花藤手下的一个无聊的网页游戏，而是TypographicalNumbrThory（印符数论）的缩写。TNT是作者根据皮诺亚的五条自然数公设和命题逻辑和演算，专门为了讲解哥德尔定理而制定出来的。书中给出的哥德尔定理的推理过程是在TNT数论之中的，也就是根据TNT的符号规则来推导出来的。我们这里对这个相对严谨复杂的系统不加着墨，而只集中于背后潜伏着的道理。但是为了给大家有个概念TNT长什么样子，下面给出一个很简单的TNT定理，表达的含义是「对于所有的a，不存在一个b使得a+(b+)=a-(b+)，即一个数加减一个非0自然数后结果不相等」。
?a:~?b:(a+Sb)=(a-Sb)
有TNT这样一个强有力的数论系统当做工具，我们已经可以做到将会用到的有关数的陈述表达出来，并且表达出数字间的推理变化。再因为TNT的本质之一就是可以通过有限的步骤判定出其公理和定理的真实性，所以，哥德尔第一不完备性定理的条件，上面提到的：「包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统」已经构造出来了。但是想要观察到不完备性，我们还需要从另外一个层次来看待问题。
层次与「涌现」现象噢，你穿梭在忽闪忽现的不断颤抖着的小颗粒之间，在某一时刻，你伸展着自己的感知范围，感觉自己可以延伸到无穷无尽，在另外一个时刻，你却又能收紧肢触，享受着光子在自己身上的反弹跳跃，感觉到自己的真实性状。你和无可计数的一模一样的同伴们漫无目的地晃荡在世间，存在唯一的意义就是「存在」本身。
你渐渐地发现，你和你的所有同伴们的活动范围都是有限的，像是被关在了一个无形的监牢之内，像是矩阵一样，每个存在都有各自的固定的区域，尽管互相倾慕或厌恶，却也仍旧不能接近或离开。你们好像生来就是守望者，如同漫天晨星一般有着某种必然的使命和目的，无论开心或悲伤，都不能挣脱开这个命运。
镜头再次拉远，你和你所在的群体已经渐渐消失不见，浮现出来的，是一整块无边无际的墙体，而你只不过是这面墙的一个微不足道的组成砖上的颗粒而已——多你不多，少你不少。真是难以想象，究竟是什么样的存在，亦或是经过了什么样的变化，才能够雕刻出线条如此完美的巨大墙壁来。自己像是一只蚂蚁站在巴别塔之前，看久了，整颗心都会颤抖起来。
再往远处，就能发现原来墙体也并不是没有边界的，墙体的四边终于慢慢浮现了出来，就好像是大地的尽头一样突然折下，在东方的方向不断地有着强光在闪烁，那是世界的不眠之光，象征着正在进行着的伟大任务。整个大地好像在散发着一种充满能量的朦胧光线，那光是如此地让人感到温暖，安逸和祥和。
再往后退，你发现大地也不仅仅是一块，而是很多块很整齐地并排码放在了一起，除了原本那块大地的朦胧能量之光外，还有另外两种不同的光芒，一种是清澈自由之光，一种是活力希望之光。这三种光芒的大陆不断地交替，像是代表着形成世界的三条最根本规则一样交相辉映，创造出各种各样的新的光线来。偶尔也有一两个大陆并不在发光，你认为那些大陆可能是被上帝所遗弃了吧。
再往后，承载着这上百万个大地的盛器也出现了它的四方边界，那变化像是从二维世界而来到了三维，和原来的变化形式截然不同。你开始怀疑，这样的俄罗斯套娃似的发现究竟有没有尽头，可能总能向外「跳出系统」，唯一不变的不过是一直「超越和包容」的这个势。
读者们，到这里，就是你们面前所见的了。
层次之无限迭代
我们经常可能在街道上见到一个小型的龙卷，卷着柳絮或者叶子肆意横行。我们如何能够知道这是不是更大的一个天气现象的一部分呢？比如地区雷雨。我们如何能够知道这雷雨是不是更大的一个天气现象的一部分呢？比如一个影响十数个国家数千公里沿海线的热带风暴。我们如何能够知道这热带风暴是不是更大的一个天气现象的一个部分呢？比如全球气候变暖。我们如何能够知道全球气候变暖是不是更大的一个天气现象的一个部分呢？比如可能是下一个百万年年冰期爆发前的蓄力。
从一个不同的层次来看待同样的问题，很有可能从不同的角度得出全新的结果，这就是层次的威力。
天下熙熙，皆为利来；天下攘攘，皆为利往。一个人在这个世界上有很强的自私性的行为，而无数个人的无数行为组成了和个人趋向完全和个体无关的历史兴替走向。单独的蚂蚁或者蜜蜂不过是一只小虫，而一旦它们集中群居起来，就能表现出让人瞠目结舌的某种类似智能的行为来。一个个单独的神经元并没有体现出任何智能的迹象，它们简单地依照规则做着加法，输入超过阈值就激活；但是上百亿个神经元之间的互联，却在高层次上（书中的「符号」层次上）体现出了超出现在科学分析能力的伟大创造力、理解力和想象力。
这就是高层次相对于低层次的「涌现现象」。
三体有一个著名的同人短片叫做Watrdrop，完美地通过超长镜头体现了层次的近乎无穷的含义，还没有去看过的三体迷们可以去看看。
有了TNT，并且了解了层次的概念，我们就来在TNT系统中制造哥德尔第一不完备性定理的后半段：存在一个命题，它在TNT（或任何足够强力的）系统中既不能被证明也不能被否定。
二、递归和自指为了制造出这种「不能证明不能否定」的哥德尔式的悖论来，我们还需要几个简单但有趣的新概念。
递归从狭义上来讲，指的是计算机科学中（也就是像各位程序猿都熟悉的那样），指的是一个模块的程序在其内部调用自身的技巧。如果我们把这个效果视觉化，即图片的一部分包涵了图片本身，就成为了德罗斯特效应。比如下图这个正在来大姨妈的男人：
德罗斯特效应之大姨夫
再比如我们很多人都看到过的那个「先有书还是先有封面」的诡谲逻辑缠绕：
德罗斯特效应之这货到底是谁
上面两张图都必然要借用到电脑软件来生成修改，但是如果我们手头有两面镜子的话，经过我自己证实，就可以自己玩出一个很简单的德罗斯特效应，不过稍微和上面两幅图中有些不同，感兴趣的可以试一试，看看到底有什么不同之处。
作者同样在书中写出了一个文字版的递归，为懒人和拖延症患者找出了一个完美的理论借口：
侯世达定律：做事所花费的时间总是比你预期的要长，即使你的预期中考虑了侯世达定律。
我们可以看到，这一小段文字中「侯世达定律」出现在了其本身之中。换句话说，我可以为我做事情花费的任意超长的时间找借口，因为我可以说我考虑到了侯世达定律，也考虑了「我考虑过侯世达定律」的事实，也考虑了「我考虑过「我考虑过侯世达定律」的事实」的事实，以此类推子孙无尽。
迭代的产生，来源于自指，即自己的部分指向自己本身。自指给了迭代以超出其范畴的表达能力，我们马上也会看到，自指也同样成为哥德尔的一把尖端武器，给了以希尔伯特为首的一帮子想要证明基础算术系统无矛盾的科学家们致命一击。
一个很有价值的观点在于，迭代代表着一种用有穷来产生可能的无穷的方式，用有限的词语和正确的使用理解方式，来推广而体现出无穷。我们没有能力去把无穷真正地表现出来，上面德罗斯特效应的图片也由于像素的限制远远没有做到绝对无穷无尽。我们能做到的，是写出规律来在我们的脑海中表达出无穷的概念（即书中提到的皮亚诺五条公理中的归纳公理）。
三、哥德尔的G与艾舍尔和巴赫万事俱备，辣椒、大蒜、牛肉、香菜全部切好摆齐，剩下了，就是大火把它们一勺烩，出锅的就是著名的香菜牛肉了。
悖论和怪圈哥德尔的初衷是想要证明希尔伯特的第二个问题（证明算术公理系统的无矛盾性），但是最后却在算术系统本身当中发现了无法解决的悖论。可能很多人都听说过说谎者悖论，一个比较明晰的版本是：
下面这个句子是假的。上面那个句子是真的。
这个左手打右脸右脸说好爽的诡异逻辑循环，在书中被称为「怪圈」。近现代画家艾舍尔对这种怪圈给出了很具象的表现：
艾舍尔之「画手」
我们将两句话中的和悖论无关的东西全部去除掉，就得到下面的最简形式。
我在说谎。
那么问题就来了，我到底在不在说谎？如果我在说谎，那这句话就是真的，也就是说我没有说谎，悖。如果我没有说谎，那这句话就是假的，也就是说我在说谎，还是悖。换句话说，这句话在人的逻辑之中，既不能被证明也不能被证伪。
说谎者悖论·改·方言版（仅供娱乐）：
莴四藏仨仁，藏仨仁都四搓扒子。俺是俺们那噶块的，但是俺们那小旮旯全活雷锋。咋整？哎呦喂，我而老北京，但而吧我觉得老北京全他妈是小骗子儿。窝嗨广东银，广东银全撕咦总官。
嗯，如果这个还没有把你绕晕的话，那么也许艾舍尔的下面这幅图能做得更好，注意上面的那一圈楼梯：
怪圈：艾舍尔之「上升与下降」
噢，我听到了我听到了，有的人在说「这有什么，小学的时候就看过那一圈楼梯的视觉悖论，不就是永远在上升或者永远在下降嘛，简单无聊得很。」很好，那么下面再上一道给人感觉很类似iOS游戏「纪念碑谷」的主菜：
怪圈：艾舍尔之「相对性」之「瞅半天了你瞅，反正你也整不明白，还瞅啥瞅，再瞅削你。」
嗯，无论你怎么努力地去看去分析，也不可能有什么结果的，这是一大堆怪圈的缠绕，逃脱不掉。
为了表明这个怪圈的普遍性，而不仅仅是某个学科的某个边角的某个奇怪的东西，我们已经举了语言和画作的例子，接下来，当然就是巴赫的音乐了。
在巴赫的音乐中，最为典型的一个，就是在乐集「音乐的奉献」中「无穷升高的卡农」。在这部卡农中，音调一直在转高，但是到了最后，这个怪圈又绕回了C调，也就是从C-D-E-F#-G#-A#-C，很类似上面艾舍尔的「上升与下降」，越来越高最后又走回了低点。能做到走回原点的原因，是因为他试用了一种叫做「谢泼德音调」的音阶处理方式，示意图如下：
怪圈：谢泼德音阶
也就是说，音阶增高的同时高音强度在缩小，低音强度在增大，虽然音高在每一周期之间根本没有变化，但却会造成了一种一直在上升的错觉。这不得不让我想到我们喜闻乐见的满大街理发店门口都有的转灯：
怪圈：转灯
大家可以回想一下，这个转灯给你带来的无穷上升的错觉。想不起来的，可以出门右转去看看。
哥德尔的G上面提到了的所有的悖论/怪圈形式，其本身并没有直接蕴含着自相违背的信息。事实上，相互违背的两样东西是绝对不可能在同一个空间中存在的，它们会各自散开老死不相往来，或者相互泯灭掉同归于尽。说谎者悖论不过是一句依靠我们的语言能力说出来的一句话，这句话可以写出来而没有崩溃掉本身就代表着其合理性。艾舍尔的所有画作，也都老老实实地和谐地待在同一个画纸上，完好地存在着。
存在即合理。——G·W·F·黑格尔
导致我们发现上面这些悖论的原因，在于我们是在「另外一个层次」的同构信息角度来考虑原信息本身。
我在说谎。这句话本身就被其部分所否定了，也就是说，这句话的一个部分是在讨论一个范围内的事物，而这句话本身正好在这个范围内。「说谎」谈论的是这个人所说出的话，而这句话本身就是这个人所说出的，部分指向本体，即我们前面所提到的「自指」，所以在这之中可能孕育出危险的悖论。
哥德尔之说谎者悖论
但是仅仅如此仍然不够。我们不妨把这句说谎者悖论写成一种让我们更容易分析的形式：
说谎者悖论分析形式：这句话是假的。
如果我们从这个句子本身的层次来看，我们是看不出问题的，我们作为句子本身不知道句子中的「这句话」指的到底是什么。它有可能指的是前一句，也有可能指的是下一句，自指在这种情况下不存在。只有当我们跳出系统，从更高的层次这个句子本身去理解这个句子的时候，我们才能知道，「这句话」指代的居然是这三个字的母体，即代表「这句话是假的」本身。
我们可以为「这句话是假的。」这句话赋予一个常量G，也就是说它和这六个字和一个句号完全同构，可以完美替代而不出问题。
G=这句话是假的。
那么，「这句话是假的。」这句话中的变量，即「这句话」这三个字，就可以被常量G所代替，因为这句话指的就是G所代表的这句话。
G=G是假的，即G=G的相反，或G=~G（非G）
悖论出现。
G的存在在该语言形式系统之中，无法被证明也无法被证伪，也就是说，无论是G还是G的相反（即~G），都不符合成为形式系统内的定理的资格，无法证明也无法反证，无法确认G的真实性，但G是真实存在的，所以系统不是完全的。
当人们假定它是真实的时候，它一巴掌扇过来说你个瞎子我明明是假的。当人们假定它是假的时候，它一巴掌扇过来说你个变态我明明是真的。它像是一个挤不破的大皮球（也像是生气状态中的女人），总要有一边鼓起来，让人们只能亡羊补牢，顾着这边就没办法顾那边，永远无法真正地用一种系统涵盖全部的定理。
哥德尔之永远不对
哥德尔之不可能
当我们在一个足够强力的形式系统之中，借助一种同构的翻译（G=这句话是假的），来并从多个不同层次上理解同一个事物，并且该事物在其内部有部分对其本身的自指的时候，就有可能产生悖论。我说是有可能而不是一定会，是因为我们可以简单地把G中的「假」换成「真」，就不再存在悖论了。而这个悖论，存在于所有足够强力的形式系统之中，也就是说，如果形式系统足够强（也就是能够反映相当部分的现实），那么就成为了哥德尔定理的牺牲品；如果本身就不够强，那么哥德尔定理无效，但也根本用不上哥德尔定理，一个不够强的形式系统根本就没有足够的有效性。
哥德尔这狠狠一锤砸死了不知多少天才横溢之辈完美无缺的数理逻辑梦。
哥德尔不完备性定理相当于让人们在二者之中选一：要么选择去接触不完备的范围广大的知识，要么去选择完备但只包括一小部分事实的理论。我们必然是掰棒子的狗熊，捡一个就必须丢一个，不存在能够获得完备知识总集的可能。
上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。
——数学家外尔（HrmannKlausHugoWyl）
在书中给出的哥德尔推导是在TNT中，还使用了「证明对」和「算术?摁化」这两个应该是作者自己发明的概念。哥德尔本人的推导应该会远更加复杂。不过当你读到这里的时候，就应该已经明白矛盾出现的原因到底在哪了。
集异璧四、人工智能哥德尔定理之所以在书中被大书特书，是因为作者相信它对人工智能有着非常核心的影响力。
人脑中有约00亿个神经元，每个神经元最多可以有0万个不同的输入端口，输入的综合超过阈值后发射电化学流，每秒的发射频率可达上千次。对于这些繁复到让人目瞪口呆的变化，我们却本身对其没有任何的认知，这是因为层次与层次之间的「隔离」（即大脑符号软件层和神经元硬件层）。隔离程度越高，高层对底层就越知之甚少，对于一个复杂系统来说也就越成熟。要是连简单的一个「我想吃苹果」这种想法，都要用意志去调动数以亿计的神经元并控制他们的激活与否，那穷尽我们一生可能都不会形成哪怕是最简单的概念。底层封装地越好，我们就越可以不去管它们是如何实现的，只需要发送一个简单的指令，并且知道底层会很稳定可靠地去做就好了。
所有的灵活的软件下面都必然有着最底层的不灵活的硬件，而软件的灵活性恰恰来自与硬件的稳固性。（p9，p）
在最底层的神经元层次，我们可以类比为电脑的硬件层次，没有思想，没有性格，有的只是最为单调但精准无误地操作和重复——输入数量足够就激活发射，不够就闲置。但正是这种超级大范围的无意识行为，其复杂度达到了某个阈值之后产生质变，就能够孕育出智能来。
人工智能之人脑电脑
从底层的纯粹硬件到我们脑海中的概念的层次是一个谜一样的本质的飞跃，我们开始能够意识到我们自己的存在，并能开始理解形成概念和记忆。本书中称我们的概念层为符号层，每一个符号代表着一个概念，可以代表饥渴，可以代表书本的概念，可以代表某种动力或欲望，也可以代表着父亲母亲。当某一事件发生的时候，相关的符号之间互相交映互相激活，最后在大脑整体上得到一种情绪上或概念上的反馈。
让人惊讶的是，人脑的硬件层次并不一一对应于某个软件功能，并不是像我们可能想象的那样，大脑的某一片负责视觉，某一片负责想象，某一片负责平衡现实和理想之类的。这种一一对应的关系并不存在，所有激发出来的结果，都是以一种整体论的形式来整体地体现反馈回来。也就是说，大部分功能都由整个大脑来负责，不能完全分隔开功能区域。
智能怪圈：神经元层次决定了智慧层次该如何执行，智慧层次的思维过程又反过去影响了神经元层次该如何执行。
近现代认知科学的出现和发展一直是建立在一个叫做「认知可计算主义」的概念之上的，这个概念认为通过计算可以模拟出人的认知模型来，或者说，认知的本质就是计算。因此，发展人工智能的重担也就落在了计算机上。随着计算机的计算能力的发展，现代最顶尖的计算机拥有着和人脑相媲美的复杂度和远超人脑不知多少个数量级的计算能力，但是，基于「认知可计算主义」的智能却仍然没有任何出现的苗头。很明显，仅仅是程序的运行速度和复杂度，并不是生成智能的原因，至少不仅仅是它们。
如果我们仔细去剖析自己的想法的话，我们就会发现，无论我们在想什么，我们的脑海里都存在着一个小人，那个小人符号代表着「自己」。无论是类似于「我想去喝水」，或者「面前出现了一片广阔无垠的金黄麦场」，还是「我明天早上起来要去跑半马」，这所有的观念之中，都有一个符号的「我」存在。这个「我」的存在，其实是个体创造力、理解力、想象力、感情、欲望、意识和自由意志的最关键的一块拼图——它允许我去想关于「我自己」的事情。它允许了在某种程度上跳到「我」之外去考虑事物，即「跳出系统」的能力。
我们对此早已习以为常到浑然不觉的地步了。但是，我们的大脑和其中的思维是我们自身的一部分，而在我们的思维中，又重新出现了「我」这个概念。无论我们是如何思考的，我们想到「我」的时候，想到的并不是我这个现实存在的个体，而是我们脑袋中对于自我个体的一个同构的翻译。
发现了吗？
我们现在是在从多个不同层次上理解同一个事物（自己），并且该事物在其内部有部分对其本身的自指（符号的「我」指向现实的我）。这离出现哥德尔悖论就只有一步之遥。
所有的计算机系统都是数论系统。如果我们按照「认知即计算」的章程来看的话，基于计算机的人工智能如果想要达到近似人类的思维能力，也就是需要拥有「自我」的概念符号的话（即出现自指），那将必然遭受到哥德尔不完备性定理的直接攻击，也就是说，如果计算机有能力在自己的运算过程之中制造出一个代表自身的符号来，那么哥德尔制造悖论的方式就可以在计算机中造出不可证明也不可证伪的奇异的虚幻来。
计算机的运行基于最基础的运算单元加减法，它的任何一步的结构都必然是完备的，可推导的可证明的，所以，从反向推导，计算机绝对不可能拥有代表自我的符号，也就绝对不可能通过这种方式拥有智能——它并不具有跳出系统的能力。从这里再追根溯源去找人工智能发展瓶颈问题出在哪，我想怀疑最大的就是「认知即计算」的这个概念。这个概念已经带领着我们的计算机科学以超乎想象的速度发展了数十近百年，但是在人工智能的领域，也显示出了它被哥德尔所严格束缚住的能力范围。
有的人可能会提出：计算机是人造的一种机器，只要是机器，就肯定会严格按照它得到的指示去做，它不会也不可能去做也想不到要去做任何它不知道的事情。本书的作者反驳：机器和人两者都是由硬件构成的，一个是零件，一个是神经元，而硬件可以按照物理学定律完全独立地运行，并不需要任何人去规定。既然人能从海量的互相纠缠的完全机械的神经元中得到智能，那么为什么计算机就不能呢？
人工智能之硬件
哥德尔不完备性定理不是在说机器的能力极限，也不是在说人的能力极限，在人工智能领域，它仅仅是在说从完全硬件角度，将一个人的想法完全复制到机器之中会受到的强烈限制。相比而言，构成一定的智能会比复制硬件构成简单得多。同时因为我们可以跳过硬件层次而只了解符号层级的一般工作原理，就好像了解发动机的一般工作原理一样，我们绕开了哥德尔定理在底层对于强力数论的要求。
如果我们暂时满足于在符号层面上研究大脑，并在符号层面上让计算机实现类似的智能，那么还是大有可为的。这就相当于假装底层的实现可能不是一个会落入怪圈的足够强力的形式系统，而是并不符合哥德尔定理的某种新体制。
无论如何，这样人工智能的发展就避开了哥德尔的魔爪。在上世纪中旬就有可靠的科学家预测，在接下来的二十年中，强人工智能（即能够主动思考创造的类人机器，相对于类似于Siri的弱人工智能）必然会出现，但是半个多世纪过去了，所有人的预见全部落了空。人脑的复杂性远远超出了原来科学家们的想象。
如果想了解更多的关于人工智能话题的话，知乎的谢熊猫君翻译了一篇英文的关于人工智能的科普读物，在上一年里反响很大：为什么最近有很多名人，比如比尔盖茨，马斯克、霍金等，让人们警惕人工智能？如果不喜一家（而且好像不是很权威的一家）之言，更喜欢全面地看问题的话，可以看看这个知乎问题下的答案，里面有数人反对谢熊猫翻译的文章的观点：为什么有很多名人让人们警惕人工智能？
五、结尾正因为哥德尔、艾舍尔和巴赫（其实感觉没巴赫什么事，艾舍尔也只是打打下手做做参谋）三人共同表现出的对于怪圈和缠结的层次结构的表现和理解，本书作者才将哥德尔、艾舍尔、巴赫这三块他精心收集的异彩夺目的瑰璧嵌为一体，并使之发扬光大、辉映成章。而这三块有异曲同工之妙的奇珍，也因此凝集成了一个珠联璧合的整体。（p95）
集异璧之GEB(Godl,Eschr,Bach)
年寒冬，美国普林斯顿，「无」宫殿内。
闪烁着火焰的蜡烛在门廊中飘忽，数理大帝二世：库尔特·哥德尔穿着纯白色干净亚麻制作的长袍，正走在大殿中的画廊里。他已经到了油尽灯枯的年龄，脸上的皱纹像是刻画在空间之上的历史，绝无可能再次抹去。
如果你用米尺去在不同的位置丈量画廊本身的宽度的话的话，你就会发现画廊的宽度是在变化的，事实上，整个「无」宫殿本身都以一种很奇异的姿态「扭」在一块凹凸不平的山坡上。建筑者并没有费心去把土地填平笃实，而是放任在那里，导致整个宫殿的地都变成了一个三维的波函数。
艾舍尔之「画廊」
作为数学帝国的第二任皇帝，他经历了数理帝国的涅槃，重生的帝国和重生的他已经不再寄希望于完美无缺的对称的稳固，而更喜欢飘忽不定的自由和弹性。
真实的世界不是完美的，而不敢面对这个事实的人，根本没有资格称自己为数学家。哥德尔总是这样和人说道，他对此毫不怀疑。
他慢慢走到了画廊的另外一边，不时停步，缓缓欣赏着画廊中摆放着的艾舍尔的各种画作。他还记得他年轻的时候，初次见到艾舍尔画作时候的惊艳——与其说他喜欢艾舍尔的画，还不如说他在艾舍尔的画中嗅到了与自己的观念相通的某种芬芳，某种对于真正完美的扭曲，还有扭曲中的反抗。
画作都看完的时候，已经过去了很久。他走回了自己的办公区域，坐在自己的办公椅上。在那宽大到可以并排躺下四个人的桌上，寥寥无几地放着两个烟斗，一条莫比乌斯纸带，一个水晶球，还有一颗头颅大小的黑色正方体木块，木块的正中央写着一个大大的「无」字。木块的材质显得很突兀，像是从另外一个时空传送过来的纪念品，仔细闻闻似乎还携带着些许上一个主人的气味。
他摩挲着这块和他头颅近乎同等大小的正方体，目光渐渐变得温柔，连眼角的皱纹都化了开。他的右臂向上抬了抬，似乎想要把木块翻滚90度，但是那木块却好像沉重得让年迈的他完全没有任何办法。他的脸上开始渐渐冒出了细微的汗，那汗冰冷如雨。几经尝试之后，他长叹一声，仿佛把数十年的人生苦乐从这一口气中散逸掉了。
他的眼睛闭上而又睁开，右手轻轻一推，木块的底面就翻滚了出来，同时跃入眼帘的是一行很简短的字。
他从左到右一个字一个字地读着那上面的话，重复读了几遍，终于放开了手，如同斗败了的公鸡一样瘫倒在扶手椅里。那木块上写着：
证明「我」是错的。
三天后，库尔特·哥德尔溘然长逝。
笔记
本篇笔记因为篇幅超长（共两万八千余字），超出简书允许的字符数，所以拆成两部分，各对应书的上半部和下半部。下半部笔记在这里。因为人气的下滑，和这本书的专业性，我需要时间确定下如何写这一篇文章，敬请期待。
上篇集异璧GEB
导言
巴赫
引出怪圈的概念：向某一方向穿过某种层次系统中的一些层次时，正好回到了开始的地方
卡农：一个单一的主题与它自己相伴而奏
赋格：单独一个声部唱出主题，唱完后第二个声部或移高五度或降低四度进入
巴赫以国王主题为题即兴创作「音乐的奉献」给普鲁士国王腓德烈大帝
卡农和赋格
无穷升高的卡农——CanonprTonos
艾舍尔——怪圈的艺术
「瀑布」，「上升与下降」、「画手」、「画廊」
哥德尔
数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题
无论涉及到什么公理系统，可证性总是比真理性弱
「艾皮曼尼蒂斯悖论」或「说谎者悖论」：这句子是假的。
哥德尔不完备性定理
数理逻辑提要
查尔斯·巴比奇（79-87）构想出计算机的存储和加工装置
计算机和人工智能
巴赫代表音乐，有神学家认为人工智能永远无法理解音乐，那是灵魂的领域
利用不同层次的规则（上层管理控制下层）来模拟智能
利用数学的一小部分来证明整个数学方法是正确的（相当于用手拽着鞋来确实地让脚离地，相对于抓自己的头发不能让自己升高）
哥德尔不完备性定理彻底否决了所有尝试
罗素和怀特海的「数学原理」：将所有集合分级，只有高一级的才可以包含该层，也就没有了怪圈
分层法：将语言分层来禁止循环，从最底层的对象语言、元语言、元元语言等等
这种方法完全不能用在日常语言中
集合论的悖论——怪圈仍然存在
罗素悖论
格瑞林悖论
十九世纪晚期，整理出严格的演绎推理模式，成书「思维的法则」
十九世纪八十年代，集合论
消除怪圈
一致性、完全性和希尔伯特方案
巴比奇、计算机、人工智能……和巴赫
哥德尔、艾舍尔、巴赫为三块异璧
三部创意曲
芝诺与其为说明「芝诺定理」而创作的人物阿基里斯和乌龟
没啥内容，只作为起始介绍一下芝诺悖论和后面的出场两位虚拟人物
第一章WU谜题
形式系统
WU谜题：只使用WUJ三个字母和条已有规则，把WJ变换为WU
定理、公理和规则
定理：在形式系统中按照一定的规则产生出来的
公理：无偿提供的定理
规则：符号变换规则，生成规则，推导规则
推导：按照形式系统中的规则逐行生成该定理的明显论证
系统内外
机器有可能在做某件事的时不去观察，而人不可能不去观察。机器可以不知抱怨地重复做一样的事情而不意识到模式上根本就不会有结果。
跳出系统
如果系统的定义是按照规律做一些事情，那么计算机有能力跳出系统
如果系统的定义是计算机按照程序做所作的一切，那计算机很显然无法跳出系统
人在做一件事情重复失败的时候，会跳出系统观察总结反思
W方式、J方式和U方式
W方式：像有思维的人一样工作
J方式：像机器一样工作
U方式：禅宗的处世态度
判定过程：WU真的可以出现吗？
如果有一个检验定理的测试，一个总是在有限长的时间内终结的测试，那么，这个测试就叫做给定形式系统的判定过程。
公理有判定过程，定理则可以没有
二部创意曲
无论是何种的推理，哪怕是最简单的三段论推理，仍然可以引入无穷多的前提，也就是说，永远无法完整无矛盾地证明
第二章数学中的意义与形式
以pq形式系统来模仿现实中的加减法
用有限的词语和正确的使用理解方式，来推广体现出无穷
欧几里得定理的仔细剖析可以得到数量极为庞大的互相有关联的微小证明
欧几里得定理及其证明（注：搜索到的欧几里得定理和书中描写素数的定理不一致？）
我们无法在有限时间内通过穷举法验证形式系统的完整正确性
数学的乘法是基于一些加减法的性质，而这些性质被默认假定为对所有数字都有效，人们可以试验x的结果，但是无法验证x的结果
现实能不能用行驶系统来完整模仿吗？答案仍然不确定，因为答案关系到宇宙是否是以完全确定的方式运动。
同构：保存信息的变换。两个复杂结果可以互相映射，并且每一个结构的每一部分在另一个结构中都有一个相应的部分。
同构具有模糊性
「解释」：符号和词语之间的同构关系
有意义和无意义的解释——真理和定理相互对应的解释为有意义的
主动意义之于被动意义
双重意义：行驶系统中的符号不一定只有一个确定意义，也有可能在其他的解释下，定理同样会变成真理。（+=5和=5-）
主动意义：所得到的新的意义，创造定理的规则也同时增加了，意义变成了规则
被动意义：在形式系统中，意义一定是被动的。我们没有权利根据新的意义来创造出新的定理。
自顶而下：拿到一条符号串，检测是不是公理，如果不是公理，将其分解成多个更短些的字符串，再次检查公理，一直分解下去，直到遇到公理或者不能再分解缩短为止（注：类似反证法，先假设要证明的是正确的，以此为条件来反推）
自底而上：拿到一个符号串，将所有的公理和它能产生的定理，以及定理产生的定理等等一一列出，直到出现符合该符号串规则的为止（注：常见的正顺序证明方法）
公理定义、定理和定理生成规则
良构：构型良好的字符串，从形式上无法排除无法否认的符号串
自顶而下和自底而上
同构产生意义
形式系统和现实
数学和符号处理
算术的基本法则
理想的数：形式系统能够彻底把我数论的性质？
绕过无穷
无伴奏阿基里斯奏鸣曲
模仿巴赫的「无伴奏小提琴奏鸣曲」
阿基里斯的电话独白
艾舍尔的「镶嵌画II」
开始引入「图形」与「衬底」的概念
第三章图形与衬底
素数之别于合数
tq系统：pq系统的乘法版
把握合数：利用tq系统，如果xqy-tz-是定理，则Cx（是合数）是定理
对素数的非法刻画
不能说对于一个数x，Cx不是定理，Px就是定理
图形和衬底
流畅可画出图形：衬底只是绘画过程中的替代品
倍流畅图形：图形和衬底都是流畅可画出的
例：以鸟作瓦、FIGURE-FIGURE
音乐中的图形与衬底
递归可枚举集之别与递归集
递归可枚举是艺术上的「流畅可画出」
递归是艺术上的「倍流畅」
存在一个形式系统，其负空间（非定理集）不是任何一个形式系统的正空间（定理集）
存在非递归的递归可枚举集
素数作为图形而非衬底（证明素数）
测试一个数能否被整除，然后是、、5一直到x-
对位藏头诗
播放机在播放一些音乐的时候自我震碎了
Bach的上下前后颠倒以后，演奏尾声的时候，阿基里斯送给乌龟的巴赫的高脚杯炸碎
第四章一致性、完全性和几何学
隐含意义与显明意义
很容易犯的错误：把全部意义归结于对象，而非对象与真实世界的联结。
「对位藏头诗」的显明意义
第二层意义依赖于两个同构
任意纹道模式与空气震颤之间的同构（发出声音）
任意的空气震颤与唱机震颤之间的同构
第一层意义是音乐意义
第二层意义是唱机引起的震颤序列
「对位藏头诗」的隐含意义
乌龟在前半部分是恶作剧的始作俑者，在后半部分却成了同样一出戏的受害者，这是一层和恶作剧本身一样的倒戈
「对位藏头诗」与哥德尔定理之间的映射
赋格的艺术
巴赫在将自己的名字使用进乐谱的时候，健康状况恶化，也是倒戈
哥德尔的结果造成的问题
没有一个足够强有利的形式系统会在下述意义上是完备的：能够把每一个真陈述都作为定理而重现在该系统中。
不完全性：对于任何一个形式系统，真理超出该系统所规定的定理资格
修改了的pq系统与不一致性（x=x+）
外部不一致：与世界真理不一致
内部不一致：x到底等于几？
重新获得一致性：通过修改解释方法，q不再是等于，而是等于或小于
欧几里得几何的历史
济罗拉莫·萨彻利，兰伯特，最后由雅诺·鲍勃和尼古拉伊·罗巴切夫斯基发现非欧氏几何
欧式几何的五条公设中，最后一条平行线公设最不美观
无数人试图证明第五共设是前四条共设的一部分，全部失败
未定义项：没有确定的定义，而是借助在定理中扮演的角色而获得被动意义的（必去q可以使等于也可以是小于等于）
多重解释的可能性
一致性不单是形式系统的性质，还依赖于为之提出的解释
各种各样的一致性
一致性：指其中每个定理经解释后都成为一个真陈述
如果每个定理经解释后成为真的，则系统加上解释是与外部世界一致的
如果所有的定理经解释后成为彼此相容的，则系统加上解释是内部一致的
假想的世界和一致性
一致性可以有很多标准：逻辑一致性、数学一致性、物理一致性、生物学一致性tc
有意思和没意思的分界线是年华在数学一致性和物理一致性之间的，也就是说，只有逻辑和书写的不一致性才算是
再次确认，破坏一致性只需要改变某些解释
形式系统中嵌入形式系统
形式系统常常是以相继的、或者说分层的方式构造出来的（形式系统并入形式系统并入并入）
视知觉中的稳定性层次
艾舍尔的「相对性」
数论在每个可想象的世界里都是一样的吗？（注：抛砖引玉）
皮亚诺算术
完全性
如果一致性是获得被动意义的最低条件，那么，完全性，是那些被动意义的最高确认
完全性：所有真的（在某个想象的世界里）且可表示成系统中的良构符号串的都是定理。
pq系统就是完全的，不过它就像是低保音唱机，无法包容改进除了简单自然数加法外的数学理论
一个解释怎样就能达到或破坏完全性？
可以向系统中添加新的规则
可以紧缩解释
没有精确反映出定理在系统中的作为
修改后的pq系统：q不再是小于等于，而是等于或加后等于
形式化数论的不完全性
试图增加规则以克服数论的不完全性，会陷入不断添加新的规则以克服之前添加规则的漏洞的无限迭代（类似「二部创意曲」一章）
和声小迷宫（图p69）
阿基里斯和乌龟在游乐场玩，通过一条缆绳，在「大风车」的最顶端被拽入一架直升飞机内，郝晕说要把乌龟做成馅饼。阿基里斯和乌龟在郝晕的书房里发现一本叫做「阿基里斯和乌龟在全球瞎逛时引人入胜的历险」，开始阅读里面的一篇故事：「神怪和煮调饮」
故事中，阿基里斯和乌龟通过「推入露」进入到艾舍尔的「凹与凸」中，他们带着煮调饮以从画中回到现实。在画中，他们历险拿到神灯，神怪许给他们三个愿望，阿基里斯许愿他们能有一百克愿望可以被实现，但是神怪无法完成「元愿望」，只有通过自己的「元灯」找「元神怪」，「元神怪」通过自己的「元元灯」找「元元神怪」，一直到造物主，然后再次递归回来，告诉阿基里斯可以许一个无类型愿望，即任意愿望。神怪解释说，造物主「永远」到达不了，它不是某个神怪，而是在所有等级的神怪之外的概念。阿基里斯为了挑战无类型愿望的极限，他说他希望自己的冤枉不被批准。
系统因此崩塌，二者都被弹到了艾舍尔的「爬虫」中。阿基里斯不小心把带来的煮调饮碰掉，乌龟在读「乌龟和阿基里斯在全球各地转悠时的历险」，阿基里斯说要下一层去捡煮调饮，乌龟答应。
二人向上爬了一层楼，从画中退出。
这次他们进入了巴赫的「和声小迷宫」的唱片，他们在沟回之中奔走，乌龟说巴赫的这首曲子是以繁复的变调出名，在最后会留下隐忍遐想的突然不和谐终止。阿基里斯和乌龟都掉进大洞里，大洞是大雕（创造迷宫并且嘲笑一切迷路之人的大雕，暗指巴赫）的老窝，他们吃掉旁边的「弹出锅酥」，故事结束。
阿基里斯家
二人回到了乌龟的房子
第五章递归结构和递归过程
递归即嵌套
地规定以从来不以某一事物自身来定义这个事物，而总是用比其自身简单一些的说法来定义这个事物。
推入、弹出和堆栈：计算机科学概念
堆栈可以理解为一摞盘子，往最上方放一个盘子为推入，从上方拿走一个盘子为弹出
音乐中的堆栈
语言中的递归
定义中总会有一部分避免了自指，即到达了终了
异层结构：没有最高层次或控制层的程序结构，互相调用全部平等
递归迁移网（RTN）：表示出为完成一项特殊任务可以遵循的各种通道
「终了」和异层结构
扩展节点：将所调用的程式代入调用的节点上
图案G和递归序列（斐波那契数列）
Q(n)=Q(n-Q(n-))+Q(n-Q(n-)),whnn
一个紊乱的序列
两个令人惊异的递归图
递归的定义需要基底和递归规则
INT图：由本身的无限迭代的副本组成的
G图，一个磁场中理想晶体里的电子的能量带
物质最低层次上的递归
费因曼图案
每个存在的粒子都涉及到无数其他粒子的存在，在身后拖着「虚云」，「虚云」中的虚粒子又拖着它们的「虚云」，无限迭代
裸粒子，即不和其他例子相互作用的粒子不存在。
例：当光子和电子为实际的「重正化了的」，二者要从A点到B点，必定会经过无法统计的互相牵扯。
副本和同一性
艾舍尔「鱼和鳞」「蝴蝶」
一个东西的部分是这个东西自身的副本，DNA，巴赫的音乐和艾舍尔的画都具有同一性，见微知著
程序设计与递归：模块性、循环、过程
循环：一遍一遍地执行某些相互有关联的步骤，当遇到指定的条件时就终止。
过程：（procdur？）把一组操作集合在一起，以方便随时调用
无处不在的「模块化」
弈棋程序中的递归
侯世达定律：做事所花费的时间总是比你预期的要长，及时你的预期中考虑了侯世达定律（注：这个定律其实也像是个递归）
递归和不可预测性
复杂到一定程度的递归系统，其能力可能会强有力得足够打破任何事先规定下来的模式。（使得智能能够成为智能）
音程递增的卡农
对于同一文字序列的不同解释
俳句
每个人都各有自己的方法来解译我们接受的信息
音程增值的三首卡农在同一唱机上播放
「分秒」约翰·卡奇
第六章意义位于何处
什么时候事物不总是同样的？
意义是一条消息固有的，还是心灵或机器与一条消息的相互作用中产生的？
信息携带者与信息揭示者：唱片与唱机
遗传型和表现型：DNA和生物
异常同构和平凡同构
平凡同构：一个结构的各部分可以很容易地对应于另一个结构的各部分（唱片和唱机）
异常同构：遗传型和表现型的各部分不能很轻易地一一对应（DNA和生物）
自动唱机和触发器
触发器：触发了从遗传型到表现型的变化过程
唱机和唱片可以完全分离，意义位于长篇中，而唱机不过是大环境。DNA是否也是如此？
DNA和化学环境的必要性
一种观点认为：为了使DNA有意义，化学环境是必须的；另一种观点认为：揭示一束DNA的固有意义，只有智能是必须的
一个假想的飞碟：如果一个
消息的理解层次
就算外星人能够造出以太昌吉来播放唱片，仍然不能算是理解了唱片的真正意义
如果能直接在目标脑袋里制造同样的反应、景象和联想，那么不通过声音或光当做媒介也是可以的
太空幻景
任何消息是否在本质上都具有足够的内在逻辑，一旦遇到具有充分高智能的生物，其环境总能自动地建立起来？
了不起的释读者
「罗塞达碑」
意义在多大程度上以可以预测的方式作用于只能，就在此程度上是对象的一部分
任何消息都分三层
理解内在消息就是抽取出发送人所要传递的意义
理解框架消息就是确认需要一种解码机制
理解外在消息就是建造——或知道如何健在——能正确解译内在消息的解码机制
薛定谔的非周期性晶体结构
如果我们再某处发现一个非常规则的几何结构中「包裹着」非周期性晶体结构，那里就可能隐藏着一些内在信息
三个层次行的语言
如何从外部发现释读内在信息，如何在人们可能不知道内在信息解码机制的情况下，在外部信息中包括可以理解的解码机制？
意义的「自动唱机」理论
这个观点认为：消息不包含固有意义，因为在任何消息被理解之前，它都会被用作某个「自动唱机」的输入，而这就意味着该「自动唱机」所包含的信息一定会在消息中的意义被获取之前加在它上面。
悖论：但是人确实在理解一切，为什么？
反驳自动唱机理论
这个无限循环的迭代在人脑这一关卡停止，因为大脑是物理实体，并且运转过程中无需被告知如何运转，所以悖论被打破
若智能是自然的，则意义是固有的
在同样条件下，一个脑和另一和脑对一个给定的触发信号几乎产生完全一样的反应
如果我们相信人类只能只不过是一种普遍存在的自然现象的一个特例，那么所有智能生物都趋向于以和我们永阳的方式对这些触发信号做出反应，即以同样的方式解读意义
地球沙文主义
把意义归因于消息是出于：分布在宇宙各处的智能生物对消息所进行的处理具有不变性。但是这样考虑问题，会有地球沙文主义的嫌疑。
太空中的两块金属板
长遗传型：所包含的信息足以使智能生物能够仅从遗传型中推出把表现型从遗传型中抽取出来所需要的机制。
再谈巴赫之别于卡奇
智能喜爱模式化，厌恶随机性
要欣赏卡奇的艺术「分秒」，那么需要把整个艺术文化史和大环境全部表达出去，但要欣赏巴赫的音乐就不需要很多
DNA中的消息有多大的普遍性
DNA中的消息有限制地包含了一些其所在化学环境的信息
如果DNA序列使用碱基序列符号传送出去的话，那么就完全无法回复其化学环境，也就不可能被破译
半音阶幻想曲，及互格
乌龟一直在自我矛盾，阿基里斯在为其指正，但阿基里斯最后居然被乌龟说服了
第七章命题演算（注：百度百科词条「命题逻辑」）
词与符号
字母表和命题演算规则
原子：演算过程中没有完全定义的placholdr，经常是大学英文字母或者小写希腊字母。一个原子没有固定的单一解释。
联结规则、分隔规则、双弯号规则、幻想规则、搬入规则、分离规则、易位规则、德·摩根（dMorgan）规则和思维陀螺（斯维彻罗？）规则
良构串
对于这个命题演算符号规则的一批例子
幻想规则和递归
无中生有制造定理的规则，一切定理的开始规则，用「[」和「]」表示开始和结束
幻想规则可以嵌套递归
符号的预期解释
对于原子的解释可以随着本身意义多种多样，PVQ可以解释为：要么你请客，要么我请客（要么两人都付钱AA制）
在命题演算中，所有的事情是纯粹「符号地」做出来的，完全机械的，不经思考的，硬性规定的，甚至是傻乎乎的。
对规则的论证
摆弄这个系统（由这些规则进行一步一步的推理）
半解释：直接读出定理而不对原子进行解释
岩头之斧（一个由禅宗公案而来的复杂推理的例子）
存在一个对定理的判定过程吗？
命题演算的结果是简单的，没有内容的，甚至感觉是浪费时间的，也正因如此，才能确保它在任何可能世界中都是真的，确保它是切合宇宙核心真理的。
判定过程：真值表方法（trutabl）
我们知道系统是一致的吗？哪些预期的解释是否有资格被称为符号的被动意义？
严谨观点（只有证明命题演算和世界的一致性）vs马虎观点（命题演算的额定义本身就说明了其一致性）
再谈卡罗尔对话（上一章中乌龟和阿基里斯的对话）
捷径与导出规则
捷径：当一个定理被推倒证明了以后，就可以被用作一条新定理来证明其他的
但是因为导出的规则是非形式地导出的，它是在系统之外的，所以走这样的捷径丢丢掉了系统的形式性。
将更高的层次格式化
不能把不同层次的的推理混同在一起，就好像形式系统的语言和日常语言不能混淆一样
对系统的长处和短处的思考
可以对它本身的一些性质进行研究
命题演算能够很容易地扩充，把推理的其他一些主要的方面包括进来
证明之别于推导
一个证明是某种非形式的东西
一个推导是证明的人造对应物
证明是简单的，是我因为每一步都看上去是对的；推导是简单的，是指它的无数步骤中的每一步都被认为是微不足道的
命题演算应被当做是综合人工证明之类的结构的一般方法的一部分，它并没有很大的灵活性或一般性
对付矛盾
「相关蕴含」：仅当二者有关联的时候，一者才能由另外一者推导出
当我们遇到了一个矛盾，更可能会对导致了矛盾思维的信仰或推理方式产生疑问，而不是根据矛盾进行命题演算而得出结论
我们的思考方式和命题演算之间就存在着矛盾，也一直有人试图解决这种矛盾
螃蟹卡农
巴赫的BWV：螃蟹卡农
模仿螃蟹卡农，所有人说的话在后半段以相反的顺序排列出来
第八章印符数论
螃蟹卡农和间接自指
印符数论TNT：TypographicalNumbrThory
我们希望在TNT中都能表示些什么
数字-以0为基础，S代表「后继」
0-0
S0-
SS0-
变元和术语
变元：a,b,c,d,,a’,a’’,b’
术语：加+、乘·、等=
需要非常注意，不要把词语的普通意义和形式符号的严格手规则管辖的行为相混淆，尽管二者经常非常类似
自由变元与量词
spanstyl="color:rgb(0,0,0);font-styl:normal;font-variant:normal;font-wight:normal;lttr-spacing:normal;orphans:auto;txt-align:start;txt-indnt:0px;txt-transform:non;whit-spac:nowrap;widows:;word-spacing:0px;-wbkit-txt-strok-width:0px;float:non;background-color:rgb(55,55,55);"?：xist存在断言/span
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量词
量化变元：在量词管辖下的变元称为量化变元
带有自由变元的串表达了一个性质，量化变元的串表达了一个真实或者虚假的断言
怎样区分真假
关于良构性的规则
关于数字、变元、项（所有数字和变元以及其结合）、原子（如果s和t是项，s=t是原子）、否定、复合、量化的规则
一个非印符系统
是否可能，以及如何印符地刻画所有对应于真理的串
TNT的五条公理和第一条规则
皮亚诺五条公设：尽量把自然数的本质纳入到这五条公设支中
TNT的新规则：特称和概括
特称的限制：用来替换串?u:x中的u的项必须不包含任何在x中被量化了的变元
概括的限制：在一个幻想，不允许任何自由出现在该幻想的前提中的变元作概括
存在量词
互换规则：?u:~和~spanstyl="color:rgb(0,0,0);font-styl:normal;font-variant:normal;font-wight:normal;lttr-spacing:normal;orphans:auto;txt-align:start;txt-indnt:0px;txt-transform:non;whit-spac:nowrap;widows:;word-spacing:0px;-wbkit-txt-strok-width:0px;float:non;background-color:rgb(55,55,55);"?u:/span
存在规则
等号规则和后继规则
「全规则」
ω不完全：一个系统的金字塔中所有的串都是定理，而全称量化的概述串却不是一个定理。
如果在一个金字塔中的所有的串都是定理，那么，用来形容它们的全称量化的串同样也是定理。这一「全规则」的问题在于，只有从外部系统才能知道一个无穷集合的全部定理，所以超出了形式系统的范畴。
ω不完全系统与不可判定串
最后一条规则
有一个起点，并且可以真理可以层层推下，那么可以归纳为?
归纳规则：以0为基础是真理，并且前一条真理（X{u}）指向了后一条真理(X{Su})，那么?u:X{u}
TNT中的紧张与解决
数学推理中的美感和节奏
形式推理之别于非形式推理
在进行了彻底形式化之后，唯一可行的到道路就是放松形式化原则。否则，形式系统会过于庞大而笨重，以至于对任何实际的目的而言都是毫无用处的。
将所有思维模式放入TNT系统，对元语言进行形式化
数论学家赋闲：如果TNT是完全的，那么所有数论问题都完全能够用纯粹机械的穷举法来解决了
希尔伯特方案
希尔伯特和他领导的数学和逻辑学家希望，能够通过比TNT的推理模式更弱的推理系统来证明TNT的一致性
哥德尔定理证明：任何一个强得足以证明TNT的一致性的系统起码与TNT本身一样强
一首无的奉献
禅宗公案
转录：用拼音写出该公案，这种拼音只包涵四种符号，翻译出来的形式成为信使
翻译：利用「几何编码」，每三个几何符号决定了下一个折叠方式，将整个信使串完全折叠
把公案（一个词语序列）变成一个折起的串（一种三维的东西）
俱胝一指：对于模仿的反驳
DNA
第九章无门与哥德尔
什么是禅宗？
没有任何办法能够刻画禅宗是什么。当试图用言语解释的时候，它总会跳到外面去
「破坏逻辑头脑」：只有跨出逻辑，摆脱理论，人才能跃入顿悟境地
无门禅师
禅宗反对二元论的斗争
一旦你感知到一个客体，就已经把它与世界的其余部分化分开了
词语把我们引向某些真理（或某些虚假），但肯定不能引向所有真理
二元论：把世界从概念上划分为种种范畴
主义、无方式以及云门
「主义」：禅所追求的东西。反哲学的，一种摒弃思维的存在方式
禅宗采纳整体论，并且推向逻辑的极端，认为整个世界根本不能被划分为一个个的事物，只能整体理解感悟
顿悟状态意味着自我和宇宙之间的分界消失了
禅宗与堕界
禅宗是一个系统，永远无法成为自己的元系统
艾舍尔和禅宗
因陀罗之网：一切事物互相反映包含的网
无门论无
WU谜题的解：只有两条规则影响到J的数量，而除非一开始J的数量就是的倍数，否则它们永远产生不了的倍数来，所以WU不是WJU系统的定理
哥德尔配数
将任何形式系统的问题都嵌入到数论之中，以数论规则来理解和解决
将每个符号都表示成一个数字，并且将规则用数字的变化规律表达出来
从印符和算术两个角度看问题
WJU系统可以视为一系列的音符操作，改变着符号的排列模式；也可以视为一系列算术运算，改变着数的量级
中心命题：在十进制中，若有一条印符规则表示为在数中进行移动、改变、删除或者插入，那么可以用算术运算法则来将其替代
WJU可产生的数
「无朋」的两重性
一个陈述可以通过哥德尔同构编码成一个数论问题（无朋成为编码消息）
数论陈述可以翻译到TNT系统中去（编码的符号成为了TNT符号）
「无朋」：一个谈论WU谜题的TNT超长（注：长到没朋友？）符号串
两重性
编码与隐含意义
现实中不存在未编码的消息
意义是在我们在辨认出同构时自动出现的副产品
对TNT进行哥德尔配数
TNT数会是一个递归可枚举集合
TNT试图吞掉自己：数论的形式化的本质导致其元语言嵌在其自身中
G：以编码方式谈论自身的符号串
G就是TNT的不完全的原因（注：类似第一章中的艾皮曼尼蒂斯悖论，即说谎者悖论），它表发了一个真理，然而却不是一个定理
下篇EGB异集璧
前奏曲……
由费马大定理导向的：
由现有的大气分子现状恢复几百年前巴赫的纯正演奏
证明过程中的自指
由如何听巴赫「平均律钢琴曲集」中的赋格而提出整体论和简化论（注：或称为还原论）之间的互不兼容
第十章描述的层次和计算机系统
描述的层次
屏幕上显示的含义描述层次（卓别林在跑）和屏幕像素矩阵的含义（一大堆色点）
组块化和棋术
正常的对局过程中，会出现多次的某种局面，或者模式，大师对这种模式十分敏感。大师和新手在不同的层面上思考。
智能紧密地依赖于为复杂的对象构造高层描述的能力（将矩阵点理解为一副画面）
相似的层次
同一个系允许两种以上不同层次的描述，而这些描述又都是相似的，这种情况下容易混淆层次区别，迷失方向
计算机系统
存储器
指令和数据
指令：一组固定的有限的操作
数据：存储方式通常是记下数据的位置，并由指针指向那里
机器语言之别于汇编语言
汇编语言比机器语言更加高级
机器语言把机器语言的指令「组块化」了，更让人容易理解，更加便捷
翻译程序的程序
汇编程序：将汇编语言翻译成机器语言好让机器可以运行
更高级的语言、编译程序和解释程序
Lisp（ListProcssing）语言：长期垄断人工智能语言
子程序/过程（function/procdur）：用已知的实体定义新的高层实体，并且可以随时通过名字调用
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